在本文的第一部分，我們看過如何利用單一因子模型分析基金經理的表現。這次我們會談到多因子模型，並討論市場使用和濫用此模型的情況。
多因子模型
我於本文第一部分用了一種資本資產定價模型(CAPM)來分析Fidelity Magellan基金的回報，CAPM假設獲取更高回報的唯一途徑就是增加市場啤打。要測試這種說法，我們可以將股票按其啤打值排序，看看高啤打的股票是否就有更高的回報。惟自1960年代起，分析員已發現事實並非如此。
在70年代和80年代，分析員發現在控制市場風險因素的情況下，便宜的股票能夠跑贏昂貴的股票(價值型跑贏增長型)，而小型股票能夠跑贏大型股票(小跑贏大)。基於這些結果，Eugene Fama和Kenneth French擴展CAPM模型以反映「價值型」和「小型」這兩個超額回報因素，成為了現在著名的Fama-French模型。
二人模擬了一個每年買入低市帳率(價值型)股票和賣出高市帳率(增長型)股票的長短倉策略，並以其歷史回報率建構模型的價值因素。同樣，他們以模擬一個每年買入小型股票和賣出大型股票策略，並以其歷史回報率建構規模因素。
他們發現當股票的市帳率愈低或規模愈小，回報率就愈高，當中關係非常平穩。另一方面，啤打與回報卻好像沒有任何有意義的關係。他們認為這證明了股市視股票規模和價值為「風險因素」，因為市帳率低或規模小的風險大，所以可能帶來更高的回報。
就在Fama和French創造其著名的模型時，Narasimhan Jegadeesh和Sheridan Titman發現近期回報較高的股票會跑贏近期回報較低的股票。不久，Mark Carhart在Fama-French模型上再增加動能(momentum)因子。Carhart以模擬一個每月買入於過去12個月(但不包括最近一個月)表現最佳的股票，並賣出上述時期內表現最差的股票策略，並以策略的歷史回報率建構動能因素。
Fama-French-Carhart模型自始一直為學術界及分析員廣泛採用。模型如下：
R-Rf = α + β*(Mkt-Rf) + β*HML+ β*SMB + β*UMD,
其中R是資產回報率，Rf為無風險利率，α為不明原因的回報，Mkt是美國市場的回報，HML(high-minus-low，高減低)是價值因子模擬投資組合的回報，SMB(small-minus-big，小減大)為規模因子模擬投資組合的回報，UMD(up-minus-down升減跌)是動量因子模擬投資組合的回報。(本來我們應在每個β附加下標或上標以表示他們是不同的，但顯示限制令我們無法這樣做。方程式的結尾亦應有誤差項，這裏為了簡潔將之省略。)
這方程式說明，任何高於現金的資產回報都與市場、價值、規模和動量因素有線性關係，另外還有一個無法解釋的阿爾法回報。每個因素前的β或啤打系數代表在所有其他因素不變的情況下，資產對該因素的敏感程度。
讀者可能留意得到，此方程式與第一部分提及的簡單線性方程式非常接近。事實上兩條方程式本質上的確大同小異，只是這裏的直線要配合4個而非1個變數。
模型以多元線性回歸(multiple linear regression)程序尋找最能夠解釋資產回報的阿爾法及啤打系數。
下表顯示了在Carhart模型回歸下的Fidelity Magellan基金每月回報。表內名詞已於上一部分解釋。先看價值因子HML，其系數為-0.20，意味每當價值型股票在一個月內跑贏增長型股票1個百分點，Magellan的月度回報率就會下跌0.20個百分點，前題是所有其他因素保持不變。Magellan的價值因子為負數，也就是說其表現更像一隻增長型基金。
讀者要留意SMB及UMD因子的p值分別是0.67和0.20，β系數均接近零。這表示在SMB(UMD)為零時，SMB(UMD)只有67%(20%)會得出相同或更差的結果。一般來說，相等或低於5%的p值具有一定的統計學意義。
總括而言，結果說明Magellan的市場啤打屬高水平，表現傾向於增長型及大型至中型基金，而與動能的關係較小。不幸的是，它的表現每年跑輸以回歸為基礎的基準指數3.85%(於2%水平標準具統計學顯著性)。
使用和濫用因子模型
因子模型有局限性。首先，它們往往需要大量歷史數據才能得出在統計學上具有意義的結果。一個基金經理跑贏以回歸為基礎的基準超過10年，仍可能不被視為在統計學上顯著的結果。這就是數據的限制。這也是為甚麼即使面對多年的表現數據，金融分析員亦往往認為難以判斷一個基金經理是否具備技術。
第二，即使你找到一個在經濟學和統計學上都具有意義的阿爾法策略，並不等於策略可以一直持續下去。因此你不能單靠以Carhart回歸方法測試每一隻基金，買入阿爾法最高的基金後就一直享受高回報下去。換句話說，過去表現並不能預測未來(除了一個短暫的「熱手效應」)。
最後，因子模型無法捕捉策略或資產的所有細微差別。所有模型都有某程度的誤差，重點是它們能否表達出一些有用的東西。Fama和French最近發表的新研究就指，價值因子其實只是盈利能力和投資強度這兩個新因子加起來的組合。
儘管上述種種，因子模型還是相當有用的。它可以告訴你一隻資產或基金是否提供了獨特的阿爾法回報，而非只是重新包裝已知的風險因素，因為你可以從低成本的指數基金獲得有關回報。因子模型可以闡明一個基金經理的投資過程，增加投資者的信心。或許最重要的是，它們讓你懂得謙卑——跑贏以因子為基礎的基準是極度困難的。
總結
• 我們可以將資產的周期性回報細分為不同部分，並以不同的因子及特點解釋或預測回報。
• 金融分析員普遍認同股票回報很大程度上可以經由市場、價值，大小和動量這4個因子解釋。(債券回報也可以如此細分，但線性因子模型不適用於債券。)
• 了解資產因子的其中一個方法，是以因子模擬投資組合的回報率對資產的定期回報(多為月度)進行多元線性回歸。這能夠建立一個以回歸為基礎的基準，有助解釋該資產的回報。
• 無法解釋的超額收益，或阿爾法回報，常常被視為由基金經理的技術產生，或是與某種未能為因子模型捕捉的額外風險有關。
• 由於線性回歸方法屬統計學性質，投資者不應視其結果為真理。同樣，投資者也不應該完全相信模型的統計不確定性量計，如t統計或p值。
作為Samuel Lee 為Morningstar被動基金研究團隊策略師及MorningstarETFInvestor編輯
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