本文的第一部分會談及如何利用線性因子模型分析基金經理的表現。
在「認識風險因素」一文中，我提及了影響大部分資產行為的3個主要風險因素：經濟增長，通脹和流動性。這3個因素就是股票、債券以及許多資產的預期回報高於現金回報的原因。
在本文，我將談到標準的線性因子模型，並嘗試以此解答一個簡單的問題：回報能否被劃分為可以解釋和無法解釋的部分？
很多分析員會以線性因子模型分析基金經理的表現，研究技巧、運氣以及風險在產生回報當中扮演的角色。簡單來說，線性因子模型能為資產建構最適合的基準。它亦會提供額外的訊息，包括基準成分、基準是否切合資產回報、資產跑贏基準的程度，以及上述結果多少是基於機會率而成等。
本文旨在協助讀者實際理解因子模型。我會盡量簡化模型涉及的數學，但稍為認識統計學概念有助理解模型。
Magellan基金與市場關係密切
【圖1】顯示了Fidelity Magellan基金(FMAGX，在美國註冊)於2003年5月至2013年3月期間，其月度回報減去無風險回報率(y軸)與美國股市回報(x軸)的關係。
【圖1】顯示出市場和Magellan有很強的線性關係：當市場上升，Magellan會以相約水平上升；當市場下跌，Magellan亦會以相約水平下跌。
從上圖可見，基金與市場的根本關係非常堅固。而事實上，Magellan基金持有一籃子多元化的美國股票，因此與美國股市承受著近似的宏觀經濟風險。
市場解釋變數 倒轉因果關係
我們現在談的因子模型運用線性回歸(linear regression)。這統計方法以直線貫通兩組數據，其中一組是我們希望「解釋」的變數，另一組是一個或多個獨立或可以說明的變數(用以說明前者)。
Fidelity Magellan是我們要解釋的變數，而股市則是說明變數。我們亦可以基金作為說明變數，以市場作為解釋變數，但這倒轉了因果關係：Magellan的走勢不會影響市場，只有市場走勢會影響到Magellan升跌。換句話說，數字的框架必須由基本面支持。
散點圖上的回歸線為現實中的市場與基金關係提供估算。
回憶高中幾何學中讀過的方程式：
y = mx + b,
m為斜率(量度直線的斜度)，b為y-截距(直線穿過y軸的一點)。按金融統計的慣例，我們以α(阿爾法回報)代替b，以β(啤打)代替m，並將方程式重新排列成
y = α + βx,
y為資產的超額回報(資產回報減去無風險利率或現金利率)，x為市場的超額回報(市場回報減去無風險利率)。注意這些都是每日、每周或每月等計算的周期性回報，其中以每月回報最為普遍。為了使y和x更加清晰，我們將兩者分別寫為R-Rf和Mkt-Rf，其中R為基金的月度回報率，Rf為無風險利率，而Mkt則為標普500指數回報。
R-Rf = α + β*(Mkt-Rf)
進行線性回歸，就是要尋找能建構出最佳直線的α和β數值。(最佳直線能將數據點與直線之間的垂直距離的平方的總和減至最低。)線性回歸分析的結果如下：
R-Rf = -0.35+1.16(Mkt-Rf)
這個方程式非常容易理解；當美國股市的月度超額回報每改變一個百份點，Fidelity Magellan的月度超額回報就會以1.16個百份點減去0.35個百分點的程度向同一個方向改變。舉例說，如果市場在1個月內上升了10%，根據方程式的預測，該基金將會上升10%*1.16 - 0.35% = 11.25%。
統計只估計基礎 難證真實情況
這方程式說明了兩件事。首先，我們可以簡單地將標普500指數的回報槓桿1.16倍以複製Magellan的回報。其次，Magellan的月度回報會較這簡單的槓桿策略低0.35個百分點，以年計即低4.2(0.35%*12)個百分點。以金融術語來說，基金相對市場的啤打為1.16，而年度阿爾法回報為負4.2%。聽起來很熟悉？這就是金融專家談到β和α時的意思。
當然，Magellan可能只是欠點運氣。線性回歸只能估計現實中基金與市場的關係，真實關係可能是y = 0.50 + 1.20x也說不定。而我們收集的數據中包含了一些極端數據，很可能使α和β的估值有所偏差。當然，沒有人會知道基金與市場的真實關係，統計只能提供一個有基礎的估計。我們以p值表示α和β的統計不確定性，表示在α或β等於零時會得出極端結果的機率。
截距為無法解釋的月度回報(或阿爾法回報)，Mkt-Rf為市場因素。截距的P值為0.01，即表示在假設基金的真實α為零時(即基金經理完全沒有技能)，只有1%的機率會得出相同或更差的結果。
T統計值(t-statistic )是另一種表達P值的方法(亦是我偏好的方法，但由於較難以直覺理解，因此不贅)。最後，R²是量度模型適合性的指標。當R²等於100%，即表示模型與數據完全配合。當R²等於0%，即表示模型無法解釋數據。這裏的R²數值非常高，顯示這有效解釋Fidelity Magellan的月度回報模式。
在本文的第2部分，我們將談到多因子模型，並討論市場使用和濫用此模型情況。
作為Samuel Lee為Morningstar被動基金研究團隊策略師及Morningstar ETF Investor編輯
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